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OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: martedì 29 aprile 2014, 22:45
da guido.bonalumi
Ciao a tutti,
innanzitutto mi scuso nel caso avessi postato nella sezione sbagliata; se così fosse vi pregherei di indirizzarmi a quella giusta.
Venendo al mio problema... sto risolvendo un piccolo problema di scambio termico la cui soluzione richiede di ricavare le prima N (devo ancora capire bene quante) radici della seguente equazione:
x*(J1(x))/(J0(x))=Bi
dove Bi è il numero di Biot (Bi=h*L/k, che possiamo assumere pari a 0,02) e J0 e J1 sono due funzioni di Bessel del primo tipo (Jn(n, x)). Sono in grado di risolvere le funzioni di Bessel separatamente (besselj(n, x)), ma non ho la minima idea di come fare per estrarre le radici di cui ho bisogno dall'equazione che ho scritto sopra.
Qualcuno saprebbe come potrei fare?
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto che saprete darmi.
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: martedì 29 aprile 2014, 23:26
da fibonacci
puoi usare il calcolo simbolico in Matlab
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: martedì 29 aprile 2014, 23:36
da guido.bonalumi
Grazie per la risposta, ma potresti essere un pò più dettagliato? Non sono molto esperto ne di octave ne tantomeno di matlab (anche se so che sono praticamente uguali).
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: martedì 29 aprile 2014, 23:50
da fibonacci
allora non ne sono certo al 100 per cento ma non si può fare calcolo simbolico in octave
per questo ti ho detto di usare MATLAB
è davvero semplice da usare
esempio
syms x a
eq='sin(x)+a=0'
solve(eq,x)
ti verranno restituite le soluzioni in funzione del parametro a
cioè in solve hai indicato di risolvere l'equazione rispetto alla variabile x
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: mercoledì 30 aprile 2014, 0:07
da guido.bonalumi
Ti ringrazio. Il problema è che non ho a disposizione MATLAB per questo uso octave. Ho provato con la funzione fsolve in questo modo:
ma mi restituisce il seguente errore:
Codice: Seleziona tutto
error: @(besselj(1, x))/(besselj(0, x))-Bi/x: no function and no method found
error: called from:
error: /usr/share/octave/3.6.1/m/optimization/fsolve.m at line 150, column 9
error: /home/guido/Documenti/Università/trasmissione del calore/progetto/octave/transcendental_eqn.m at line 7, column 4
Non so se questa funzione dovrebbe fare qualcosa di simile a quella che mi hai indicato tu.
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: mercoledì 30 aprile 2014, 1:21
da fibonacci
prova con questa sintassi
come lo hai usato tu sicuro non funziona perché non è un programma di calcolo simbolico Octave
f = @(x) (0.2)^x-log(x)
fsolve(f,1.1)
naturalmente devi mettere la tua funzione questo solo un esempio per la sintassi
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: mercoledì 30 aprile 2014, 2:13
da bite
Questa equazione con le funzioni di Bessel non puoi risolverla simbolicamente, devi andare con il metodo di Newton o qualcosa del genere.
Puoi usare Wolfram Alpha. Vai su
http://www.wolframalpha.com, schiaffa la stringa
nella casellina di testo e clicca il segno di uguale.
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: mercoledì 30 aprile 2014, 11:27
da guido.bonalumi
Vi ringrazio per le risposte. Con la soluzione di fibonacci funziona! Ho risolto in questo modo:
Codice: Seleziona tutto
f = @(x) (x*(besselj(1, x))/(besselj(0, x))-Bi)
fsolve(f,1.1)
Solo un'ultima cosa... io avrei bisogno delle prime N radici, mentre in questo modo ne trovo solo una, quella prossima a 1,1. Come potrei fare per evitare di doverli cercare manualmente? Stavo pensando un'iterazione ma se non conosco i valori per cui approssimare non ho idea di come fare. Qualche idea?
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: mercoledì 30 aprile 2014, 18:10
da guido.bonalumi
Ho quasi risolto... sono giunto a questo:
Codice: Seleziona tutto
D=0.05
h=100
k=60.5
Lc=D/4
Bi=h*Lc/k
N=10;
# Plot della funzione nell'intervallo compreso fra x=0 e x=20 per avere un'idea dei valori delle radici ricercate
x=[0.0001:0.001:20];
y=x.*(besselj(1, x))./(besselj(0, x)).-Bi;
plot(x, y, '-r')
axis([0 20 -1 1])
a=[1:N];
for i=0:(N-1)
f=@(x)(x*(besselj(1, x))/(besselj(0, x))-Bi);
a(i+1)=fsolve(f, (i*pi+pi/4));
end
a
Il risultato di per a è il seguente:
Codice: Seleziona tutto
a =
0.20276 3.83709 7.01853 10.17550 13.32524 16.47188 19.61691 22.76099 25.90447 29.04754
Il che è giusto solo parzialmente. Infatti se si prova a guardare il grafico della funzione, si può notare come i valori salvati nel vettore
a siano solo le soluzioni dispari. Fra ogni coppia di valori salvati infatti ve n'è un altro che non viene salvato.
Ho provato a raffinare al soluzione passando da
a
ma il risultato è il seguente:
Codice: Seleziona tutto
a =
0.20276 0.20276 3.83709 3.83710 7.01853 7.01853 10.17550 10.17551 13.32524 13.32526
Evidentemente non è quello che voglio, infatti vengono trovate le stesse radici di prima, semplicemente ciscuna viene trovata due volte. C'è qualcosa che mi sfugge, probabilmente riguardo al funzionamento di
fsolve. Qualcuno saprebbe dirmi cosa sbaglio?
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: mercoledì 30 aprile 2014, 19:35
da bite
Il grafico della funzione x BesselJ[1,x]/BesselJ[0,x]-0.02 è questo:
Tra le radici che hai elencato non ce ne sono altre, ci sono solo dei punti di discontinuità di seconda specie in corrispondenza degli zeri di BesselJ[0,x].
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: giovedì 1 maggio 2014, 19:37
da BlueEyes
Confermo, l'algoritmo "salta" metà delle radici, quelle indicate nel grafico con le frecce blu. Ciao
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: giovedì 1 maggio 2014, 21:17
da bite
Ripeto: quelle non sono radici ma punti di discontinuità di seconda specie.
Che le radici siano solo quelle elencate lo si può vedere plottando la funzione x BesselJ[1, x] - 0.02 BesselJ[0, x] che non ha punti di discontinuità ed ha le stesse radici:
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: venerdì 2 maggio 2014, 9:23
da BlueEyes
Retromarcia, la mia!
Si vede chiaramente, modificando leggermente la funzione, che quelli intermedi sono asintoti, o comunque segni grafici di
gnuplot quando la funzione attraversa le discontinuità. Come da grafico e codice allegati. Ciao
Codice: Seleziona tutto
N=3;
x=[0:0.1:5];
y=(besselj(1, x))./(besselj(0, x));
plot(x, y, '-r')
axis([0 5 -1 1])
grid
Re: OCTAVE - Equazione trascendente
Inviato: venerdì 2 maggio 2014, 10:37
da bite
Sono asintoti verticali
