Definizione
Tutti i numeri NR escluso i multipli di 2 e di 3 si scrivono nella forma 6h+1 e 6h+5.
Dimostrazione
NR modulo 6 =1 -> 6h+1
NR modulo 6 =2 -> è multiplo di 2
NR modulo 6 =3 -> è multiplo di 3
NR modulo 6 =4 -> è multiplo di 2
NR modulo 6 =5 -> 6h+5
NR modulo 6 =0 -> è multiplo di 2 e di 3
Lemma
Quindi partendo da 1 e facendo +2 e +4 si ha 1 5 7 11 13 17 19 23 25 29 ecc.ecc.
Definizione
Ogni numero NR escluso i multipli di 2 e di 3 si scrivono nella forma
1) X^2+6nX=NR
2) X^2+6nX+2X=NR
3) X^2+6nX+4X=NR
Dimostrazione
Dal lemma segue direttamente
1) X(X+6n)=NR
2) X(X+6n+2)=NR
3) X(X+6n+4)=NR
In più si può osservare che:
(6h+1)*(6k+1)=6G+1
(6h+5)*(6k+5)=6G+1
(6h+1)*(6k+5)=6G+5
(6h+5)*(6k+1)=6G+5
----------------------------------------------------------------------------------------
Da ciò si può dedurre che risolvendo (6h+1)*(6k+1)=6G+1 si possano risolvere gli altri tre casi
questi (6h+1)*(6k+5)=6G+5 (6h+5)*(6k+1)=6G+5 moltiplicando per 5
e questo (6h+5)*(6k+5)=6G+1 moltiplicando per 25
Quindi prendiamo come caso base
(6h+1)*(6k+1)=6G+1
X^2+6nX=NR
si può facilmente notare che
se G è pari n sarà pari
se G è dispari n sarà dispari
----------------------------------------------------------------------------------------
Se NR=(6*a+1)*(6*b+1)
allora possiamo scriverlo nella forma
NR=(6*a+1)^2+6*n*(6*a+1)
quindi
n=(G-6*a^2-2*a)/(6*a+1)
dove G=(NR-1)/6
----------------------------------------------------------------------------------------
Per capire ci scriviamo una tabella dove i valori cerchiati sono i valori G=(N-1)/6
di questa tabella
cioè questa
i numeri (che chiameremo A) di fianco a due cerchiati sono la differenza dei due numeri cerchiati
sull'orizzontale avremo i valori di n
sulla verticale i valori di a o meglio i valori di 6*a+1
Gli ultimi A ,che chiameremo Au, prima di arrivare ad n sono Au=6*n+8 quindi Au=6*(G-6*a^2-2*a)/(6*a+1)+8 quindi Au=(NR+7-36*a^2+36*a)]/(6*a+1)
Da Au per ottenere un numero nella forma 6*h+1
se n è dispari basta fare Au/2
se n è pari basta fare (Au+6)/2
quindi avendo detto tutto ciò passiamo alla fase più difficile da spiegare
-----------------------------------------------------------------------------------------
Prendiamo un numero NR=(6*a+1)*(6*b+1)
supponiamo G pari quindi n è pari
quindi Au=(NR+7-36*a^2+36*a)]/(6*a+1)
quindi per ottenere un numero nella forma 6*c+1
6*c+1=[(NR+7-36*a^2+36*a)]/(6*a+1)+6]/2
quindi c=[[(NR+7-36*a^2+36*a)]/(6*a+1)+6]/2-1]/6
ora considerando la stessa n di n=(G-6*a^2-2*a)/(6*a+1)
ci scriviamo
[(6*c+1)^2+6*(G-6*a^2-2*a)/(6*a+1)*(6*c+1)+7-36*c^2+36*c]/(6*c+1)=NR1
ora non sappiamo se (NR1-1)/6 è pari o dispari quindi non sappiamo se n è pari o dispari
supponiamo sia pari
[(NR1+6)/2*(6*c+1)+7-36*c^2+36*c]/(6*c+1)=NR2 , c=((NR1+6)/2-1)/6
o se fosse stato dispari
[(NR1)/2*(6*c+1)+7-36*c^2+36*c]/(6*c+1)=NR2 , c=((NR1)/2-1)/6
reiterando il procedimento
giungeremo
se è pari
[(NRz+6)/2*(6*z+1)+7-36*z^2+36*z]/(6*z+1)=NR(z+1) , z=((NR1+6)/2-1)/6
z-1=z=1
se è dispari
[(NRz)/2*(6*z+1)+7-36*z^2+36*z]/(6*z+1)=NR(z+1) , z=((NR1)/2-1)/6
z-1=z=0
Esempio
82357321=8263*9967
c=[[[[(82357328-36*a^2+36*a)]/(6*a+1)+6]/2]-1]/6 , [(6*c+1)^2+6*(13726220-6*a^2-2*a)/(6*a+1)*(6*c+1)+7-36*c^2+36*c]/(6*c+1)=NR1
[(NR1+6)/2*(6*c+1)+7-36*c^2+36*c]/(6*c+1)=NR2 , c=((NR1+6)/2-1)/6
[(NR2+6)/2*(6*d+1)+7-36*d^2+36*d]/(6*d+1)=NR3 , d=((NR2+6)/2-1)/6
d=c=1
***********************************************************************************************************************************************
P.s.
Mi scuso per l'ennesima volta per il mio non matematico disordine
per piacere qualcuno mi da un parere