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Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: giovedì 10 febbraio 2011, 15:02
da as-far-as-i-know
Ecco l'output di Maxima per l'integrale indefinito dell'esempio:

Codice: Seleziona tutto

Maxima 5.23.2 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.8 (a.k.a. GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) (x^(1/3)+2)^(-1);
                                      1
(%o1)                              --------
                                    1/3
                                   x    + 2
(%i2) integrate(%o1,x);
                                    1/3     2
                     1/3        3 (x    + 2)            1/3
(%o2)         - 12 (x    + 2) + ------------- + 12 log(x    + 2)
                                      2
(%i3) expand(%o2);
                       2/3
                    3 x         1/3           1/3
(%o3)               ------ - 6 x    + 12 log(x    + 2) - 18
                      2
(%i4)
La primitiva che Maxima calcola è la (%o2), che in fase di espansione ne mostra un'altra (%o2) differente della costante (-18).
Domanda: siamo in presenza di un baco di Maxima? Non credo che esistano due primitive di uno stesso integrale indefinito!
Aggiungo che, svolgendo manualmente i'integrale per sostituzione (x=t^3), si ottiene come primitiva (%o3) senza il (-18).
Buon divertimento!

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: giovedì 10 febbraio 2011, 15:19
da maegras
as-far-as-i-know ha scritto: Ecco l'output di Maxima per l'integrale indefinito dell'esempio:

Codice: Seleziona tutto

Maxima 5.23.2 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.8 (a.k.a. GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) (x^(1/3)+2)^(-1);
                                      1
(%o1)                              --------
                                    1/3
                                   x    + 2
(%i2) integrate(%o1,x);
                                    1/3     2
                     1/3        3 (x    + 2)            1/3
(%o2)         - 12 (x    + 2) + ------------- + 12 log(x    + 2)
                                      2
(%i3) expand(%o2);
                       2/3
                    3 x         1/3           1/3
(%o3)               ------ - 6 x    + 12 log(x    + 2) - 18
                      2
(%i4)
La primitiva che Maxima calcola è la (%o2), che in fase di espansione ne mostra un'altra (%o2) differente della costante (-18).
Domanda: siamo in presenza di un baco di Maxima? Non credo che esistano due primitive di uno stesso integrale indefinito!
Aggiungo che, svolgendo manualmente i'integrale per sostituzione (x=t^3), si ottiene come primitiva (%o3) senza il (-18).
Buon divertimento!
se svolgi i calcoli sono esattamente la stessa cosa.
Il -18 non è una costante di integrazione, ma viene fuori svolgendo i prodotti

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: giovedì 10 febbraio 2011, 16:16
da as-far-as-i-know
maegras ha scritto: se svolgi i calcoli sono esattamente la stessa cosa.
Il -18 non è una costante di integrazione, ma viene fuori svolgendo i prodotti
E quindi? Cosa deduci? Lo faccio io, per te:

Codice: Seleziona tutto

 
                                    1/3     2
                     1/3        3 (x    + 2)            1/3
   I=         - 12 (x    + 2) + ------------- + 12 log(x    + 2)   //prima primitiva
                                      2

                       2/3
                    3 x         1/3           1/3
   I=              ------ - 6 x    + 12 log(x    + 2)     //seconda primitiva.
                      2
Vuoi dire che l'integrale ammette 2 primitive?

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: giovedì 10 febbraio 2011, 16:21
da maegras
as-far-as-i-know ha scritto:
maegras ha scritto: se svolgi i calcoli sono esattamente la stessa cosa.
Il -18 non è una costante di integrazione, ma viene fuori svolgendo i prodotti
E quindi? Cosa deduci? Lo faccio io, per te:

Codice: Seleziona tutto

 
                                    1/3     2
                     1/3        3 (x    + 2)            1/3
   I=         - 12 (x    + 2) + ------------- + 12 log(x    + 2)   //prima primitiva
                                      2

                       2/3
                    3 x         1/3           1/3
   I=              ------ - 6 x    + 12 log(x    + 2)     //seconda primitiva.
                      2
Vuoi dire che l'integrale ammette 2 primitive?
Se non fosse che, dalla 1 riga 1 termine -12*2=-24; 1 riga 2 termine (3*2^2)/2=6, -24+6=-18...
I conti fatti a mano sono giusti?

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: giovedì 10 febbraio 2011, 18:46
da as-far-as-i-know
Mi dispiace ma non hai afferrato il senso del post. Aspettiamo altri commenti e poi capirai.

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: giovedì 10 febbraio 2011, 23:05
da Elrond
Sono d'accordo con maegras (magari neanche io ho afferrato il senso del post), le due espressioni sono esattamente la stessa cosa, basta svolgere i calcoli. È come dire che

Codice: Seleziona tutto

x^2/2
e

Codice: Seleziona tutto

x^2/4 + x^2/4
sono due primitive diverse della stessa funzione x

(se anche le primitive differissero per una costante non mi preoccuperei più di tanto, ma quelle da te indicate sono proprio uguali)

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: venerdì 11 febbraio 2011, 10:33
da as-far-as-i-know
Elrond ha scritto: (se anche le primitive differissero per una costante non mi preoccuperei più di tanto...
Ciao Elrond. E' proprio questo il punto. Poiché le due funzioni differiscono di una costante, la primitiva deve essere o l'una o l'altra, ma non entrambe perché una può essere ottenuta dall'altra aggiungendo o togliendo 18.
All'apparenza sembrerebbe una questione ... di lana caprina! Mi sono quindi documentato, e ho trovato delle divergenze di opinioni, pensa un po', nello stesso sito di WolframAlpha.
Infatti, in una delle pagine web viene dato come risultato quello ottenuto con il calcolo manuale per sostituzione, in un'altra pagina (dello stesso sito) invece vengono mostrate le due soluzioni (+ costante) e presentate con il titolo 'Alternate form of the integral'. Appena ho un po' di tempo posto i due screenshot.
Ciao

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: venerdì 11 febbraio 2011, 19:23
da Elrond
Mi starò perdendo in un bicchiere d'acqua ma non riesco a capire quale sia il problema, le due espressioni da te indicate sono uguali, non c'è nessun 18 di differenza, sono solo scritte in maniera diversa

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: sabato 12 febbraio 2011, 9:43
da as-far-as-i-know
Eccolo in allegato. Ciao e buon WE!

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: sabato 12 febbraio 2011, 10:32
da Elrond
Maxima non introduce nessuna costante additiva, semplicemente con expand() riscrive la %o1 in maniera diversa. Infatti in %o1 le costanti additive sono -12*2 + 3*2^2/2 = -24 + 6 = -18, ecco da dove esce l'ultimo termine in %o2

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: sabato 12 febbraio 2011, 13:03
da as-far-as-i-know
Elrond ha scritto: Maxima non introduce nessuna costante additiva, semplicemente con expand() riscrive la %o1 in maniera diversa. Infatti in %o1 le costanti additive sono -12*2 + 3*2^2/2 = -24 + 6 = -18, ecco da dove esce l'ultimo termine in %o2
D'accordo, era implicito, e probabilmente mal descritto da me, nel primo post.
Poniamo il quesito così. Viene assegnato quell'integrale, qual è secondo il candidato la risposta?
        a) I= %01 + costante
        b) I= %02 + costante
        c) entrambe le soluzioni (Forme alternative)

Siccome è la prima volta che mi è capitata una cosa del genere, ne ho voluto parlare nel forum. Grazie

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: sabato 12 febbraio 2011, 13:16
da maegras
as-far-as-i-know ha scritto:
Elrond ha scritto: Maxima non introduce nessuna costante additiva, semplicemente con expand() riscrive la %o1 in maniera diversa. Infatti in %o1 le costanti additive sono -12*2 + 3*2^2/2 = -24 + 6 = -18, ecco da dove esce l'ultimo termine in %o2
D'accordo, era implicito, e probabilmente mal descritto da me, nel primo post.
Poniamo il quesito così. Viene assegnato quell'integrale, qual è secondo il candidato la risposta?
         a) I= %01 + costante
         b) I= %02 + costante
         c) entrambe le soluzioni (Forme alternative)

Siccome è la prima volta che mi è capitata una cosa del genere, ne ho voluto parlare nel forum. Grazie
Io opto per la c

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: sabato 12 febbraio 2011, 14:03
da Elrond
Anch'io per la c). Se vuoi dare una forma più generale possibile alla primitiva puoi togliere il "-18" senza troppi rimorsi e mettere "+ costante" (come fa Wolfram Alpha insomma), ma sia %o1 che %o2 sono degne di essere chiamate primitive della tua funzione (anche perché sono uguali).

Re: Maxima e l'integrale con ... due primitive!

Inviato: sabato 12 febbraio 2011, 14:34
da bite
as-far-as-i-know ha scritto: Non credo che esistano due primitive di uno stesso integrale indefinito!
Ogni funzione reale di una variabile reale ha non solo due ma una intera famiglia di infinite primitive parametrizzate da una costante additiva.

Le tue espressioni %o2 e %o3 sono assolutamente identiche, non differiscono nemmeno per una costante additiva, e quindi sono la stessa primitiva.

Se differissero per una costante additiva si tratterebbe sì di un problema di maxima, ma non per il fatto che fornisce due primitive diverse: semplicemente perché la seconda espressione è ottenuta espandendo la prima, e quindi deve essere identica.