Alcolismo e statistica

[_Sebastiano_]

Reduce dall'ennesimo fallimento a "road to hell", mi chiedo: qual è la probabilità di salvare il proprio fegato?

Mi spiego, se non lo conoscete il gioco è così: piramide di carte da gioco tipo poker formata da 5 file di carte, prima fila carta singola e via giù fino all'ultima con cinque carte. Morale vengono schierate 15 carte (1-2-3-4-5).
Il gioco consiste nel scegliere una e una sola carta per ogni fila, ricominciando dalla base ogni volta che si incontra una carta dal 10 in su.
Nel caso in cui peschi una carta dal 10 in su si mette una nuova carta sopra ognuna delle carte girate fino a quel momento e via.

Qual è la probabilità di riuscirci al primo colpo?
Io pensavo così:

le carte da poker sono 14, ai fini del gioco 9 hanno esito positivo, 5 negativo, per cui ogni scelta ha una probabilità di successo di 9/14. Considerato che la perfezione è cinque successi di fila la probabilità di ottenere un tale risultato dovrebbe essere (9/14)^5=0.10=10%, ma ho il forte sospetto che ci sia qualcosa di sbagliato dato che il più delle volte mi servono almeno venti tentativi...

[Hyu]

Non ho capito un paio di cose:
1)  Riuscire al primo colpo a fare cosa?
2)  "le carte da poker sono 14" Ma quelle schierate non erano 15? E per seme non ce ne sono 13?

Se mi dici queste cose mi ci metto a risolverlo, tanto stò preparando un esame di probabilità e statistica ed un esercizio vale l'altro.

[_Sebastiano_]

Arrivare in cima alla piramide, ovvero girare cinque volte di fila una carta di valore inferiore a 10.
Le carte da poker sono 14 nel senso che per ogni seme ci sono le carte D'OH! hai ragione, sono 13... nel senso che per ogni seme ce ne sono 13...
E schierate sono 15 prese dal mazzo...

Quindi ricalcolando il tutto la mia soluzione è:

Probabilità generica di ottenere una carta di valore inferiore a 10: 9/13
Probabilità di farlo cinque volte di fila: 0.15=>15%
Giusto?

[Hyu]

Così calcoli la probabilità che, su cinque estrazioni con restituzione (quindi estrai la carta, ne vedi il valore e la rinfili nel mazzo, rimescoli e riestrai) dal mazzo di 52 carte francesi, tu estragga soltanto carte di valore inferiore a 10.

Ciò che tu fai è estrarre in blocco 15 carte da 52.
Semplifico il modello: la tua situazione è equivalente ad avere un mazzo di 52 carte di cui 52-(9×4)= 16 carte che non ti danno successo (le chiamerò Nere) e 36 carte che ti danno successo (le chiamerò Bianche).
La probabilità che, su 15 carte estratte in blocco dalle 52, esattamente x siano Bianche segue la distribuzione ipergeometrica http://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_ ... geometrica
Definisco X = 'numero di carte Bianche estratte'
La probabilità che tu ne estragga cinque o più è
P(X>=5)=1 - P(X=5)=0.9999396 ~ 1
Infatti l'unico modo che hai per estrarre quindici carte che non siano bianche è quella di estrarre praticamente tutte le carte nere (15 su 16).
Adesso viene la parte difficile: siccome perdi alla prima estrazione sbagliata, a te non importa ne da dove cominci a estrarre ne in che ordine scegli le file da cui estrarre. Potremmo assumere volendo che tu estragga la prima carta da ogni fila, in questo caso è come se tu avessi scelto quali carte girare nel momento in cui le hai schiarate sul tavolo. Ad esempio nel momento in cui piazzi la prima carta da sola, è come se tu l'avessi già girata, tanto la scelta sarà obbligata.
Quindi tu in realtà stai estraendo cinque carte dalle 15, con la speranza di beccare 5 carte Bianche sulle x carte Bianche che hai preso dalle 52 nel momento in cui hai estratto le 15 carte.
Quindi anche in questo caso la distribuzione è ipergeometrica (estrai 5 carte senza restituzione), la probabilità che Y = 'numero di carte bianche estratte dalle 15' sia pari a 5 seguirà una distribuzione ipergeometrica di parametri N=15, r=x,  k=5, n=5.
Quindi la probabilità che tu vinca dipende dal numero di carte comprese tra 1 e 9 che estrai quando estrai le 15 carte.
Siccome in media tra le 15 carte ci saranno 10 carte Bianche, avrai che mediamente la probabilità che tu vinca al primo tentativo è: P(Y=5|k=10)=0.0839
Chiaramente questa probabilità può essere più alta o più bassa, a seconda di quanto vale k, cioè x.

ps: se qualcuno trova errori non esiti a segnalarli!

[Painbrain]

>:(

[_Sebastiano_]

Urca, pensavo fosse un calcolo più banale...  :-[
Quindi in pratica la probabilità di salvare il fegato dipende da due passaggi concatenati, e se quel che ho capito è giusto praticamente è una roulette in cui non si può sapere a priori un numero di tentativi...
Grazie comunque per la spiegazione, è stata molto esauriente!  (b2b)